Παραβολή και έλλειψη, Γεωμετρία και Φυσική

Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Παιδιά του ΚΩΝΟΥ

και της ΕΠΙΠΕΔΗΣ

Η φαντασία του ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ.

Διακόσια περίπου χρόνια πριν από τον Χριστό,  ο μεγάλος γεωμέτρης από την Πέργαμο «είδε» -με το βλέμμα της σκέψης - τις ΓΡΑΜΜΕΣ που προκύπτουν κατά την τομή ενός κώνουαπό επίπεδη επιφάνεια.

Σεπερίπωση που η επιφάνεια ειναι παράλληλη προς μια γενέτειρα του κώνου είδε την ΠΑΡΑΒΟΛΗ...

Σε περίπτωση που η επιφάνεια ειναι κάθετη στονάξονα συμμετρίας του κώνου είδε τον ΚΥΚΛΟ,ενώ εάν δεν είναι κάθετη – και δεν τέμνει τη βάση -  είδε την ΕΛΛΕΙΨΗ.  Όταν η επίπεδη επιφάνεια είναιπαράλληλη προς τον άξονα του κώνου χωρίς να διέρχεται από την κορυφή ειδε την ΥΠΕΡΒΟΛΗ.Πολλούς αιώνες αργότερα οι Ευρωπαίοι αγάπησαν τις γραμμές -παιδιά του κώνου καιτης επίπεδης επιφάνειας – τις λεγόμενες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ - καισε κάθε περιπτωση στη γλώσσα τους έφτιαξαν λέξεις γι αυτά βασισμένες στηνελληνική . Εκείνοι που

τις αξιοποίησησαν ιδιαίτερα ήταν οι γεωμέτρες, οιαστρονόμοι και οι φυσικοί. Ο Kepler,oΓαλιλαίος, ο Καρτέσιος και ο Νέυτων ήταν ανάμεσα στους περισσότερο ερωτευμένουςμαζί τους.

 

Σε γλώσσα Γεωμετρίας

η ΠΑΡΑΒΟΛΗ είναι ένα σύνολο των σημείων καθένααπό τα οποία ΙΣΑΠΕΧΕΙ

από ένα γεωμετρικό σημείο Ε ( την εστία )

και από μία ευθεία ( τη διευθετούσα )

Για το σημείο Α,ΑΕ = ΑΑ΄, για το σημείο Β, ΒΕ= ΒΒ΄ . . .

Αν θεωρήσουμε μιατυχαία ευθεία Lκάθετη στον άξονα συμμετρίας

έτσι ώστε η εστίανα βρίσκεται μεταξύ αυτής και της διευθετούσας,

η παραβολή είναικαι «σύνολο σημείων για καθένα απο τα οποία το άθροισμα τωναποστάσεων από την τυχαία ευθεία Lκαι από την εστία να είνα σταθερό» .

Αυτό ισχύει διότιγια ένα τυχαίο σημείο Α το άθροισμα ΑΕ +ΑΛ είναι ίσο με την απόσταση τωνπαράλληλων L  και  D

Υπό αυτή τηνέννοια Η παραβολή είναι μια ΕΛΛΕΙΨΗ, η δεύτερη εστία της οποίας βρίσκεται στοάπειρο.

 

Σε γλώσσα Αναλυτικής Γεωμετρίας

Τον 17ο αιώνα οΚαρτέσιος μας έμαθε να αποδίδουμε σε κάθε συνάρτηση μια εικόνα .

Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ είναιγραφική παράσταση μιας συνάρτησης δευτέρου βαθμού y = ax² + βx + γ.

Με κατάλληληεπιλογή των αξόνων η συνάρτηση μπορεί να γίνει

 y= ax². Σε αυτή την περίπτωση η απόσταση f της εστίας Ε από την αρχή των αξόνων είναι ίση με 1/4α

Γεωμετρία της ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ και ΦΩΣ.

Μια φωτεινή ακτίνα προερχόμενη από σημείο Ρ πέφτει στην επιφάνεια ενός παραβολικού καθρέφτη,ανακλάται και κατευθύνεται στην εστία Ε.

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι για να συμβεί αυτόπρέπει, πριν την ανάκλαση,

να είναι παράλληλη προς τον άξονα συμμετρίας.

Κι αυτό διότι «υπάκουη»  στην Αρχή του Fermat θα ταξιδέψει μέσα από τον χρονικά πιοσύντομο δρόμο, ο οποίος είναι στην προκειμένη περίπτωση είναι και ο πιο μικρούμήκους. Πράγματι από τους όλους τους δρόμους που συνδέουν – μετά από ανάκλαση –το σημείο Ρ με την εστία Ε , ο μικρότερου μήκους είναι ο ΡΑΕ διότι είναι ίσοςμε την απόσταση του Ρ από την ευθεία D. Οποιαδήποτε άλλη διαδρομή όπως η ΡΖΑ έχει μεγαλύτερο μήκος από την ΡΑΕ .ΡΖΕ = ΡΖΖ΄ άρα είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του Ρ από την ευθεία D .

Το φως «υπάκουο» στην Αρχή του Fermat

θα ανακλαστεί έτσι ώστε να κατευθυνθεί στο Ε

μόνο εάν είναι παράλληλη προς τον άξονασυμμετρίας.

Εξάλλου μόνο γι αυτή τη διαδρομή αποδεικνύεται

ότιη  γωνία πρόσπτωσης θα είναι ίση με τηνγωνία ανάκλασης.

Αυτό σημαίνει ότι μια  φωτεινή δέσμη παράλληλη

προς τον άξονα συμμετρίας

θα ΕΣΤΙΑΣΕΙστο σημείο Ε.

Αυτό αξιοποιείται ιδιαίτερα σε κατοπτρικέςδιατάξεις με

τις οποίες επιδιώκεται να «συγκεντρώνεται» ηλιακήακτινοβολία αλλά και ηλεκτρομαγνητικά κύματα που δεν είναι φως.

Ισχύει βέβαια και το αντίστροφο.

Μια σημειακή φωτεινή πηγή που θα στερεωθεί στηνεστία Ε ενός παραβολικού καθρέφτη

θα εκπέμπει φως το οποίο μετά την ανάκλαση θαγίνεται προβολέας.

Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με τα μακρυά φώτα τωναυτοκινήτων.

Κάτι ανάλογο μπορούμε να πετύχουμε και με κοίλουςσφαιρικούς καθρέφτες αλλά σε αυτή την περίπτωση

η εστίαση και η δημιουργία προβολέα ισχύει μόνογια μικρού μεγέθους -  σε σχέση με τηνακτίνα καμπυλότητας - σφαιρικούς καθρέφτες

με συνέπεια τεχνολογικα να υπερτερούν οι παραβολικοίκαθρέφτες.

Τι γίνεται με τους σφαιρικούς καθρέφτες ;

Αν μια φωτεινήακτίνα προερχομενη από την κυρία εστία ενός κοίλου ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ καθρέφτη προσπέσειστην επιφάνεια του με «μικρή γωνία» – ως προς τον κύριο άξονα-μετά την ανάκλασή της γίνεται παράλληλη προς τον κύριο άξονα.

Πόσο «μικρή»πρέπει να είναι η γωνία

ώστε να συμβείαυτό;

Βασιζόμενοι στηΓεωμετρία

μπορούμε νααποδείξουμε ότι   

 ημφ= ½ ημθ    

ω= θ-2φ και       

p’= R+ Rημθ/2ημω.Οι γωνίες θ, φ και ω παριστάνονται  στο σχήμα

θ	φ	2φ	ω	p΄
900	300	600	300	2R
600	25,70	51,30	8,70	3,86R
450	20,70	41,40	3,60	6,63R
300	14,480	28 ,960	1,040	14,5R
200	9,850	19,690	0,30	33,4R
100	4,980	9,960	0,040	131,4R

Για να γίνειπαράλληλη η ανακλώμενη ακτίνα πρέπει θ = 2φ. Από τον πίνακα με τις ενδεικτικέςτιμές συμπεραίνουμε ότι για

θ> 20^οη διαφορά της θ από τη 2φ είναι μετρήσιμη, ενώ για μικρότερες γωνίες θ  η διαφορά μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα.

Αυτό σημαίνει ότι από μια φωτεινή δέσμηπροερχόμενη από την εστία Ε,  οι ακτίνες

μεγωνία μεγαλύτερη των 30^ο

δεν θα συμμετέχουν στην παράλληλη δέσμη αλλά

θα συγκλίνουν σε διάφορα σημεία του άξονα.

Για να δημιουργήουμε παράλληλη δέσμη, πρέπει τομέγεθος  

του σφαιρικού κατόπτρου να έιναι τόσο ώστε μόνοοι ακτίνες με μικρές γωνίες να προσπίπτουν σε αυτό και να ανακλώνται

Αντίθετα το«μυστικό πλεονέκτημα » του παραβολικού είναι ότι

α. σε περίπτωσηπου μια σημειακή φωτεινή πηγή βρεθεί στην εστία ένα πολύ υψηλό ποσοστό – καιενεργειακά – του ποσοστό του φωτός θα συμβάλλει στη δημιουργία της παράλληληςδέσμης, θ αδημιουργεί δηλαδή προβολέα.

β. Σε αντίθετηλογική,  όταν μια παράλληλη φωτεινή δέσμηπαράλληλη προς τον άξονα προσπίπτει στην ανακλαστική επιφάνεια σε ένα ιδιαίτεραυψηλό ποσοστό ΕΣΤΙΑΖΕΤΑΙ.

Γεωμετρία της ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ και ΚΙΝΗΣΗ.

Ο  Γαλιλαίος το είχε αποδείξει πειραματικά ,  αλλά ο Newton το γενίκευσε .

Όταν εκτοξεύουμεένα σημειακό αντικέιμενο κατακόρυφα προς τα πάνω ή προς τα κάτω η κίνηση

που θαακολουθήσει θα είναι ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ .

Σε κάθε άλληπεριπτωση,  η τροχιά που ακολουθεί μετάτην εκτόξευση -  σε ομογενές πεδίοβαρύτητας – είναι ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΗ ή μάλλον, επειδή παρεμβαινει και ο αόρατος αέρας,«σχεδόν ΠΑΡΑΒΟΛΟΚΗ».

Στους αγώνες στίβου ανθρώπινα σώματα σε κίνηση καιμεταλλικά αντικείμενα ενεργοποιημένα από ανθρώπους, είτε ντοπαρισμένους είτεκαθαρούς, σώματα σε  κινήσεις φαινομενικάδιαφορετικές με τη διαδρομή καθενός να προσδιορίζεται από τη διανυσματικήταχύτητα στην αρχή της προσπάθειας, από την παρέμβαση της βαρύτητας και απότην συνήθως  λιγότερο  σημαντική  επίδραση του αέρα, ένα«παιχνίδι» σωμάτων και μεταλλικών αντικειμένων με τη βαρύτητα, με στόχο τααντικείμενα να πάνε όσο γίνεται πιο μακριά και τα σώματα να μετατοπιστούν όσογίνεται  περισσότερο είτε στον x τον οριζόντιο είτε στον z τον κατακόρυφο, κινήσεις που μπορεί ναμας  φαίνονται διαφορετικές αλλά έρχονταιο φυσικοί και μας λένε ότι σε όλες τις μορφές των αλμάτων και των ρίψεωνένα αόρατο γεωμετρικό σημείο διαγράφειτην ίδια μορφή τροχιάς, μια γραμμή που σε όλες περιπτώσεις έχει την ίδια μορφή.

Το αόρατο σημείοείναι το κέντρο μάζας κάθεσώματος και κάθε μεταλλικούαντικειμένου, το κέντρο μάζας του ανθρώπινου σώματος είτε ανήκει σε κατάξανθοΆγγλο  άλτη του μήκους,  είτε σε γυναίκα με μαύρη επιδερμίδα, τοκέντρο μάζας οποιουδήποτε από τα εκτοξευόμενα μεταλλικά αντικείμενα - σφαιρικέςσφύρες με αλυσίδα, σφαιρικές σφαίρες χωρίς αλυσίδα,  δίσκοι και «ευθύγραμμα»  ακόντια - ενεργοποιημένα από γυμνασμένουςανθρώπους και των δύο φύλων που διασχίζουν την τρίτη ή την τέταρτη δεκαετία τηςζωής τους, και οι φυσικοί να επιμένουν ότι η «αόρατη» τροχιά  του αόρατου κέντρου μάζας είναι ήτανκαι θα είναι πάντα παραβολική

όπως εκείνη πουδιέκρινε  για πρώτη φορά

ο Γαλιλαίος στημπίλια, τότε που την άφηνε να κυλήσει στο δικό του εκείνο

εργαστήριο, μιαγραμμή που η εικόνα της πλησιάζει σε εκείνη που μας

προσφέρουν τασιντριβάνια και οι μαθηματικοί, όταν μας μιλούν για την τομή

ενός κώνου από έναεπίπεδο  παράλληλο προς τη γενέτειρα 

η μαθηματικήπαραβολή στην οποία πλησιάζει η τροχιά του κέντρου μάζας

των κινουμένωνσωμάτων στις ρίψεις και στα άλματα, και την «πλησιάζει» γιατί μαθηματικήπαραβολή δεν είναι ποτέ,

η γεωμετρική τηςμορφή, η παραβολικότητα της, υπονομεύεται από την παρουσία του αέρα λιγότεροόταν υπάρχει άπνοια, περισσότερο όταν η ταχύτητα του αέρα είναι μετρήσιμη,λιγότερο στα άλματα σε ύψος, περισσότερο στο μήκος και στον ακοντισμό. 

Εβδομήντα περίπουχιλιάδες άνθρωποι καθισμένοι στις εξέδρες τη χειροκροτούν, ο ήχος φτάνει στααυτιά της, η Χρυσοπηγή Δεβετζή τρέχει προς τη βαλβίδα, την πατάει με δύναμη,εκτοξεύεται λοξά προς τα πάνω, το κέντρο μάζας του σώματος της κάνει την σχεδόνπαραβολική τροχιά σε κατακόρυφο επίπεδο, το πρόσωπο της αθλήτριας απεικονίζειτην τεράστια προσπάθεια, προσγειώνεται με το δεξί πόδι στο έδαφος, πατάει δυνατά,οι χιλιάδες σιωπούν, η τροχιά διακόπτεται για να επαναληφθεί μια ακόμα σχεδόνπαραβολική με διαφορετική αρχική ταχύτητα, ύστερα και το δεύτερο πάτημα με τοαριστερό πόδι, μια τρίτη τροχιά για το κέντρο μάζας καθώς το σώμα τηςΧρυσοπηγής ταξιδεύει τώρα πια για να συναντήσει την άμμο, το σημείο στο οποίοθα προσγειωθεί μέσα στο σκάμμα απέχει από τη βαλβίδα 16 μέτρα και 25 εκατοστά,οι χιλιάδες  διακρίνουν ότι επίδοση είναιεξαιρετική, ξεσπούν σε χειροκρότημα μαζί και οι κραυγές τους, η  Χρυσοπηγή Δεβετζή έχει κάνει το τριπλό άλμαμε το οποίο μια ελληνίδα θα πάρει μετάλλιο από ασήμι για πρώτη φορά σεΟλυμπιακούς αγώνες στο αγώνισμα τριπλούν. Είναι έτος 2004.

Παραβολική η τροχιά του κέντρου μάζας της μπάλαςστο τρίποντο του Παπαλουκά, αγώνας μπάσκετ, άθλημα που και οι κατακόρυφεςτροχιές, όπως είναι εκείνες με το γκελ της μπάλας στο έδαφος,επιτρέπονται,  παραβολική η τροχιά τουκέντρου μάζας στο βόλεϊ, άθλημα στο οποίο οι τροχιές με ελάχιστες εξαιρέσεις μόνο παραβολικές, κι ας φαίνονταιστους θεατές περίπου ευθύγραμμες λόγω της μεγάλης ταχύτητας οι τροχιές στακαρφιά. 

Ζυγίζεταιπάνω στο βατήρα, ασκεί με τα ποδιά του δύναμη έτσι που η οριζόντια σανίδαεκτελεί ταλάντωση μαζί και εκείνος ο αθλητής των καταδύσεων καταδύτης ένα μέροςαπό την ορμή και την ενέργεια του συστήματος την κρατάει για τον εαυτό του,πρέπει να κρατήσει  κάπου 400 τζάουλκινητικής ενέργειας γιατί θα χρειαστεί να κινηθεί προς τα πάνω και τώραεγκαταλείπει  τον βατήρα εκτοξεύεται προςτα πάνω και γίνεται ένα κουβάρι καθώς αρχίζει να ανεβαίνει και να περιστρέφεταιπερί το κέντρο της  μάζας του, το κάνειγια να ελαχιστοποιήσει τη ροπή  αδράνειαςκαι να αυξήσει τη γωνιακή του ταχύτητα τα πράγματα εξελίσσονται τρομακτικάγρήγορα μέσα σε δύο το πολύ δευτερόλεπτα θα έχει φθάσει στο νερό ενώ ο φυσικόςπου παρακολουθεί την όλη προσπάθεια διακρίνει στην κίνηση του ανθρώπινουσώματος ένα αόρατο γεωμετρικό σημείο να διαγράφει παραβολική τροχιά. Είναι το κέντρο μάζας τουπρωταθλητή των καταδύσεων.

Η παραβολική τροχιά σε οριζόντια βολή

Ένα σημειακό αντικείμενοεκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ₀ .

Ο Γαλιλαίος και η ΘΕΣΗ

 O Galileo Galilei ήτανο πρώτος που μας δίδαξε – αγνοώντας την αντίσταση του αέρα –

να προσδιορίζουμε τη τη θέση του σε κάθεμελλοντική χρονική στιγμή

Την κίνηση που ακολουθεί τη θεώρησε σύνθεση

α.  της κίνησης που θα έκανε το αντικείμενο αν δεν υπήρχε βαρύτητα ( ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ΟΜΑΛΗΣ )

β. της  κίνησης που θα έκανε το αντικείμενο αν δενείχε ταχύτητα και αφηνόταν ελεύθερο ( ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ με επιτάχυνση g ) 

και με βάση την Αρχήτης Ανεξαρτησίας των κινήσεων η μετά χρονικό διάστημα  t θέσητου προσδιορίζεται εάν το φανταστούμε να εκτελεί

α. την ευθύγραμμηομαλή επί χρόνο t , οπότεπροσδιορίζεται έτσι ένα σημείο Γ που απέχει από το σημείο βολής υ₀t και στη συνέχεια – από το σημείο Γ – ναεκτελεί ανεξάρτητη

β. την ομαλάεπιταχυνόμενη επί τον ίδιο χρόνο tοπότε προσδιορίζεται ένα σημείο Δ στην κατακόρυφο που βρίσκεται το Γ και κάτωαπό το Γ σε απόσταση ½gt² .

Ο Καρτέσιος και η ΤΡΟΧΙΑ

Αξιοποιώντας την Αναλυτική Γεωμετρία του Καρτέσιουεπιλέγουμε δύο άξονες xκαι y, οπότε η θέση του αντικειμένου σε κάθε χρονική στιγμή περιγράφεται με τις δύοσυναρτήσεις  x = υ₀t  καιy= ½ at². 

Από τις δύο σχέσεις με απαλοιφή του t προκύπτειη  y =g/2υ₀².x²

Αν τη σχέση αυτή τη «διαβάσουμε» ως ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ  y = f(x)  την ακούμε να μαςπεριγράφει «πόσο έχει πέσει ( y) προς τα κάτω το αντικείμενο κάθε στιγμήπου  η οριζόντια μετατoπιση του είναι x» . Το σύνολο των σημείων x,y είναι δηλαδή τα σημείατου χώρου στα οποία βρέθηκε κατά την κίνησή του .Η μορφή της μας λέει ότι η γραφική της παράσταση είναι ΠΑΡΑΒΟΛΗ.

Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι η τροχιά είναιπαραβολική. 

 

Η ΕΣΤΙΑ της παραβολής

Η ΕΣΤΙΑ Εμιας παραβολής y= ax² βρίσκεται σε απόσταση f = 1/4α από την αρχή των αξόνων Ο. Άρα ηεστία της παραβολής   y =g/2υ₀²x² βρίσκεται σε απόσταση  υ₀²/2g κάτω από το σημείο εκτόξευσης, οπότε και η «διευθετούσα» D σε ύψος υ₀²/2g πάνω από το σημείο εκτόξευσης. Εάν μάλιστα η εκτόξευση γίνει από ύφος h = υ₀²/2g πάνω από το έδαφος, η ΕΣΤΙΑ Ε θα βρίσκεται στο έδαφος και η D σε ύψος υ₀²/g από το έδαφος . Σε κάθε χρονικήστιγμή της κίνησης το σημειακό αντικείμενο Σ θα απέχει εξίσου από την εστία Εόσο απέχει από την οριζόντια διευθετούσα D. Μπορούμεέτσι να υπολογίσουμε το «βεληνεκές» ΕΡ. Είναι ίσο με την απόσταση του Ρ από τηνD.  ΕΡ= υ₀²/g

Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το «πόσο απέχει»το αντικείμενο από το σημείο Ε ( την προβολή του σημείου εκτόξευσης  0 στο έδαφος) τη χρονική στιγμή στιγμή που το ύψος του έχει μειωθεί σε h/2. Η απάντηση φαίνεται απλή: Απέχει 3υ₀²/g όσο δηλαδή απέχει από την D.

Σε γλώσσα Γεωμετρίας

ηΕΛΛΕΙΨΗ είναι ένα σύνολο των σημείων τα οποία το ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ απόδύο γεωμετρικά σημεία (εστίες, E₁ και  E₂) είναι σταθερό.

Το μέσο Ο τουευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τις δύο εστίες  (E₁, E₂) λέγεται κέντροτης έλλειψης και αποτελεί κέντρο συμμετρίας

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύοδιαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής λέγεται

 διάμετρος της έλλειψης.

Μία έλλειψη έχειδύο άξονες συμμετρίας, οι οποίες είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρόςτης. O μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει από τονορισμό της έλλειψης. O μικρός άξονας έχει μήκος 2β,  β² = α² − γ².

Ο λόγος γ/α = εονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης και «περιγράφει» πόσο στενή ή πόσο πλατιάείναι η έλλειψη

Σε γλώσσα Αναλυτικής Γεωμετρίας

Τον 17ο αιώνα οΚαρτέσιος μας έμαθε να αποδίδουμε σε κάθε συνάρτηση μια εικόνα .

Με κατάλληλη επιλογή των αξόνων

η  ΕΛΛΕΙΨΗ

 είναι γραφική παράσταση

κάθε συνάρτησηςτης μορφής

 x²/a² + y²/b² = 1  .

Εφόσον α=β

η έλλειψη γίνεται ΚΥΚΛΟΣ

Γενικότερα ηΕΛΛΕΙΨΗ αντιστοιχεί στη συνάρτηση Αx² + Bxy + Cy²+ Dx+Ey+F=0 με την προυπόθεση  Β²- 4ΑC> 0  

Γεωμετρία της ΕΛΛΕΙΨΗΣ και ΦΩΣ.

Να φαντασούμε έναν καθρέφτη σε σχήμα έλλειψης .Μια οποιαδήποτε φωτεινή ακτίνα προερχόμενη από μία ΕΣΤΙΑ της έλλειψηςανακλώμενη στοην κατοπτρική επιφάνεια θα κατευθυνθεί στην άλλη ΕΣΤΙΑ.

Μπορούμε να το αποδείξουμε

α. Με τους νόμους της ανάκλασης και με Αναλυτικήγεωμετρία.

Η φωτεινή ακτινα προσπίπτει στο σημείο Ρ υπόγωνία θ₁ την οποία σχηματίζει με την κάθετο στο σημείο Ρ .

Κάθετος  είναι «η κάθετος στην εφαπτομένη» στο σημείο Ρ. 

Σύμφωνα με τους νόμους της ανάκλασης η ανακλώμενηακτίνα διατηρείται στο ίδιο επίπεδο και η γωνία ανάκλασης θ₂ είναιίση με τη γωνία πρόσπτωσης.  

Με Αναλυτική γεωμετρία αποδεικνύεται

ότι η κάθετος στην εφαπτομένη 

σε οποιοδήποτε σημείο Ρ μιας έλλειψης με εστίες E₁και  E₂ είναι διχοτόμος τηςγωνίας (E₁ΡE₂)

β.  Με τηναρχή του Fermat

Το φως διαδίδεται από τον χρονικά πιο σύντομοδρόμο. Μια φωτεινή ακτίνα που θα βρεθεί στο σημείο E₁

Για να φθάσει μετά την ανάκλαση στο σημείο Ε₂δεν έχει να επιλέξει κάποιο ειδικό δρόμο διότι όλοι οι δρόμοι που οδηγούν απότο Ε₁ με ανάκλαση στην ελλειπτική κατοπτρική επιφάνεια στο σημείο Ε₂έχουν το ίδιο μήκος – το άθροισμα των δύο αποστάσεων είναι σταθερό Ε₁Ρ+ ΡΕ₂ = Ε₁Λ + ΛΕ₂ = Ε₁Μ+ ΜΕ₂- και,  εφόσον η διάδοση γίνεται στο ίδιοδιαφανές μέσο, το χρονικό διάστημα του ταξιδιού είναι σταθερό. Οποιονδήποτελοιπόν δρομο και να ακολουθήσει η ακτίνα θα  οδηγηθεί στο Ε₂ .

ΕΛΛΕΙΨΗ στον ουρανό. Johannes KEPLER

ΟJohannes KEPLER ήταν ο πρώτος πουυποστήριξε γραπτά το Κοπερνίκειο Σύστημα

( 1543) με τον ήλιο στοκέντρο και τους πλανήτες να περιφέρονται γύρω του.  Στα πλαίσια της «ΗΛΙΟΚΟΚΕΝΤΡΙΚΗΣ» θεωρίαςτων τέλειων ΚΥΚΛΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ εργάστηκεσκληρά στην  Πράγα - όπου βρέθηκε μετά το1600 –πάνω στο συγκεντρωμένο υλικό των αστρονομικών παρατηρήσεων του Tycho Brahe. Ύστερα από έξι χρόνιαεπεξεργασίαςαυτού του υλικούο Kepler κατάλαβε ότι σοβαρά ερωτήματα θα έμεναν αναπάντηταεφόσον δεχόταν να παραμένει εγκλωβισμένος μέσα στο δόγμα της τέλειας ΚΥΚΛΙΚΗΣκίνησης των ουράνιων σωμάτων.

Ήτανο πρώτος ερευνητής που υποστήριξε ότι η  «ιερήκυκλική κίνηση δεν είναι κυκλική» και εισηγήθηκε ότι είναι κίνηση σε τροχιά μεσχήμα ΕΛΛΕΙΨΗΣ.

Στο Astronomia Novaτο 1609 υποστήριξε ότι

1. Οι πλανήτεςπεριφέρονται γύρω από τον Ήλιο σε επίπεδες τροχιές. Κάθε τροχιά έχει το σχήμαμιας έλλειψης στη μία εστία της οποίας βρίσκεται ο Ήλιος

πρόταση η οποία αργότερα θα κωδικοποιηθεί ως  Erstes keplersches Gesetz, Πρώτος Νόμος του Κέπλερ

2.Τα εμβαδά που διαγράφονται από το ευθύγραμμο τμήμα «Ήλιος- πλανήτης» είναιανάλογα προς τονη χρόνο που διαγράφονται.

πρόταση η οποία αργότερα θα κωδικοποιηθεί ως Zweiteskeplersches Gesetz , Δεύτερος  Νόμος του Κέπλερ

 

Στα χρόνια που ακολούθησαν, κινούμενος στοεσωτερικό μιας αντίληψης για την Αρμονία του Κόσμου και με ένα είδος πίστης στηλεγόμενη Μουσική των Σφαιρών  οδηγήθηκεστη διατύπωση και του τρίτου νόμου τον οποίο παρουσίασε στο Harmonices Mundi το έτος 1619.

3.Τα τετράγωνα των περιόδων της περιφοράς γύρω από τον Ήλιο είναι ανάλογα με τουςκύβους των μεγάλων αξόνων των ελλείψεων

πρόταση η οποία αργότερα θα κωδικοποιηθεί ως  Drittes keplersches Gesetz,Τρίτος Νόμος του Κέπλερ

Το έργο του Kepler υπήρξε ένα από τα σημαντικότερα στηρίγματα στη Μηχανική του Isaac Newton

ONewton,η ΕΛΛΕΙΨΗ και  ηΠΑΡΑΒΟΛΗ

Philosophiae Naturalis Principia Mathmatica BOOK 1 .  The motion of the bodies
Σελίδα 56 PROPOSITION XI  THEOREM VI	If a body revolves in en ellipse;  it is required to find the low of the centripetal force tending to the focus of the ellipse	Αν ένα σώμα κινείται σε ελλειπτική τροχιά, χρειάζεται να βρούμε τον νόμο της κεντρικής δύναμης η οποία κατευθύνεται στο κέντρο της έλλειψης.
Σελίδα 57 PROPOSITION XII  THEOREM VII	Suppose a body to move in an hyperbola; it is required to find the low of the centripetal force tending to the focus of that figure.	Υποθέτουμε ότι ένα σώμα κινείται σε μια υπερβολή.  χρειάζεται να βρούμε τον νόμο της κεντρικής   δύναμης η οποία κατευθύνεται στο κέντρο της υπερβολής.
Σελίδα 60 PROPOSITION XII  THEOREM VII	If a body moves in the perimeter of a parabola ;  it is required to find the low of the centripetal force tending to the focus of that figure.	Αν ένα σώμα κινείται στην περίμετρο μιας παραβολής, είναι αναγκαίο να βρούμε τον νόμο της κεντρικής  δύναμης η οποία κατευθύνεται στο κέντρο της παραβολής.
Σελίδα 65. PROPOSITION XVII PROBLEM IX	Supposing the centripetal force to be inversely proportional to the squares of the distances of places from the centre, and that the absolute value of that force is known; it is required to determine the line which the body will describe that is let from a given place with a given velocity in the direction of a  given right line.	Υποθέτουμε ότι η κεντρική δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη προς τα τετράγωνα των αποστάσεων των θέσεων από το κέντρο και ότι είναι η απόλυτη τιμή αυτής της δύναμης είναι γνωστή. Χρειάζεται να προσδιορίσουμε την τροχιά – γραμμή την οποία θα διαγράφει το σώμα με δεδομένα τη αρχική του θέση του και την γνωστής κατεύθυνσης  αρχική του ταχύτητα
Σελίδα 68. SECTION IV	To finding the elliptic, parabolic and hyperbolic orbits, from a focus given.	Να βρούμε την τροχιά - ελλειπτική, παραβολική και υπερβολική- βασιζόμενοι στο δεδομένο θέση της εστίας.
Σελίδα 76. SECTION V	How the orbits are to be found when neither focus is given.	Πώς θα βρεθούν (προσδιοριστούν) οι τροχιές εάν δεν είναι δεδομένη ούτε η εστία
Σελίδα 109. PROPOSITION XXX. PROBLEM XXII	To find at any assigned time the place of a body moving in a given parabola	Να προσδιοριστεί σε συγκεκριμένη στιγμή η θέση ενός σώματος κινουμένου σε δεδομένη παραβολή
Σελίδα 112. PROPOSITION XXXI PROBLEM XXIII	To find the place of a body moving in a given ellipse at any assigned time	Να προσδιοριστεί σε συγκεκριμένη στιγμή η θέση ενός σώματος κινουμένου  σε δεδομένη έλλειψη

Philosophiae Naturalis Principia Mathmatica BOOK 3 .  The System of the Word
Proposition XΙΙΙ. Theorem  XΙΙΙ.	Τhe planets move in ellipses which have their common focus in the centre of the sun; and by radii drawn to that centre, they describe areas proportional to the time of description	Οι πλανήτες κινούνται σε ελλείψεις οι οποίες έχουν την κοινή τους εστία στο κέντρο του Ήλιου και από την ακτίναπου άγεται από αυτό το κέντρο διαγράφονται εμβαδά ανάλογα προς τους  χρόνους της διαγραφής τους.
Proposition XL. Theorem  XΧI .	That the comets move in some of the conic sections, having their foci in the centre of the sun; and by radii drawn describe areas proportional to the times.	Οι κομήτες κινούνται σε κάποιες κωνικές τομές, με τις εστίες τους να βρίσκονται στο κέντρο του Ήλιου. Και από την «επιβατική» ακτίνα διαγράφονται επιφάνειες ανάλογες προς τους χρόνους.
Proposition XLI. Problem XX.	From three observations given to determine the orbit of a comet moving in a parabola	Από τρεις δεδομένες παρατηρήσεις να προσδιοριστεί η τροχιά ενός κομήτη κινούμενου σε παραβολή

Το πρόβλημα

Σε ένα σώμα - σημειακό αντικείμενο -  ασκείται συνεχώς δύναμη ΚΕΝΤΡΙΚΗ -κατευθυνόμενηδηλαδή σε ένα σταθερό σημείο- η τιμή της οποίας είναι αντιστρόφως ανάλογη προςτα τετράγωνα των αποστάσεων των θέσεων του σώματος από το σταθερό σημείο –κέντρο Ο . Σε μια χρονική στιγμή το αντικείμενο έχει μια ταχύτητα υ κάθετη στηδύναμη αυτή.

Ποια θα είναι η τροχιά της κίνησής του στησυνέχεια, εφόσον δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις ;

Ένα «καλό» παράδειγμα είναι η κίνηση ενόςδορυφόρου στο γήινο πεδίο βαρύτητας.  

Η απάντηση.

Υποθέτουμε ότι το αντικείμενο έχει μάζα  και βρίσκεται σε απόσταση r απότο κέντρο.

Στο χρονικό διάστημα dt το σώμα υπό την επίδραση της κάθετης στηνταχύτητά του δύναμης θα στρίψει

έτσι ώστε η επιβατική ακτίνα να στραφεί κατά  γωνία dφ. Στο ίδιο αυτό χρονικό διάστημα dt στην αρχική ταχύτητα υ θα προστεθείδιανυσματικά η ταχύτητα dυίση με αdtκαι στην κατεύθυνση της ασκούμενης κεντρικής δύναμης. Τοaείναι η  επιτάχυνση η τιμή της οποίαςδιαμορφώνεται από τις τιμές της δύναμης και της μάζας .

Η νέα ταχύτητα, ως διανυσματικό άθροισμα της υ καιτης dυ,θα σχηματίζει με τη υ γωνία dθγια την οποία dθ= dυ/υ= αdt/υ. Στο ίδιο αυτό χρονικό διάστημα dt

και ενώ το διάνυσμα της ταχύτητάς του θα έχει«στραφεί» κατά dθ,

το σώμα θα έχει διαγράψει τόξο υdt

και  η«επιβατική ακτίνα» θα έχει στραφεί κατά dφ  = υdt/r

Το «τι θασυμβεί» θα καθοριστεί από την τιμή της ταχύτητας.

α.Εάν η τιμή της ταχύτητας είναι τόση ώστε η ποσότητα υ²/r να είναι ίση με την τιμή της επιτάχυνσης

ησχέση dθ= αdt/υθα γίνει dθ= υ²dt/rυ άρα  dθ= υdt/r.  Αλλά το υdt/r είναι ίσο με τη γωνία φ κατά την οποίαέχει στραφεί η επιβατική ακτίνα . Άρα dθ = dφ.

Από την ισότητα των δύο γωνιών προκύπτει ότι επιβατικήακτίνα – άρα και η  κεντρική δύναμη - θαείναι και πάλι ΚΑΘΕΤΗ στην ταχύτητα και αυτό θα συμβαίνεισυνέχεια. Το σώμα θα κινείται χωρίς αυξομειώσεις ταχύτητας σε τροχιάΚΥΚΛΟΥ. Η απόστασή του από το σταθερό σημείο Ο θαδιατηρείται αναλλοίωτη άρα και το μέτρο της δύναμης θα διατηρείται σταθερό

Σε περιπτωση που πρόκειται για αντικείμενο μάζας m εκτοξευόμενο οριζόντια στο πεδίο βαρύτηταςτου μάζας Μ πλανήτη Γη, σε απόσταση r από το κέντρο του πλανήτη,  η ασκούμενη δύναμη θα είναι ίση με GMm/r², οπότε η επιτάχυνση θαείναι GM/r² ,  και η προυπόθεση α = υ²/r διαμορφώνεται σε GM/r²= υ²/r  άρα υ = (GM/r)^½. Το αντικείμενο γίνεται δορυφορος σε κυκλική τροχιά.Για το γήινο πεδίο βαρύτητας και για εκτόξευση σε χαμηλό ύψος (r ≈ R_Γης ) η  τιμή (GM/r)^½ειναι περίπου 7,9 km/s.

β.Εάν η τιμή της ταχύτητας είναι τόση  ώστεη ποσότητα υ²/rνα είναι μεγαλύτερη από την τιμή της επιτάχυνσης

η τιμή  dθ = αdt/υ θα είναι μικρότερη από την  υ²dt/rυ άρα και από την υdt/r.   Αλλά το υdt/r είναι ίσο με τη γωνία dφ που διαγράφει στο ίδιο διάστημα ηεπιβατική ακτινα.  Άρα dθ < dφ.Η ταχύτητα «έστριψε» λιγότερο από την επιβατική ακτίνα καιαυτό σημαίνει ότι η κεντρική δύναμη δεν είναι κάθετη στην ταχύτητα. Τα δύοδιανύσματα Fκαι υ’  σχηματίζουναμβλεία γωνία. Η Fαναλύεται σε μια συνιστώσα κάθετη στην ταχύτητα η οποία θαπροκαλεί την αλλαγή στην κατεύθυνση  τηςταχύτητας και σε μια συνιστώσα «επιβραδυντική» η οποία θα επιφέρει τη μείωσητης ταχύτητας. Εφόσον βέβαια η ως προς Ο ροπή είναι μηδενική,  η στροφορμή του σώματος – ίση με mυd, όπου d η απόσταση το Ο από τονκοινό φορέα ορμής και  ταχύτητας –διατηρειται,  με συνέπεια η μείωση τηςταχύτητας να συνεπάγεται αύξηση της απόστασης d τουΟ από τον φορέα της ταχύτητας.

Αποδεικνύεται ότι η κίνηση που θα ακολουθήσει ναείναι σε τροχιά ΕΛΛΕΙΨΗ και με «κοντινή εστία» (Ε) το κέντρο Ο. Εάν η ταχύτηταείναι ακόμα μεγαλύτερη η δεύτερη εστία Ε΄θα βρίσκεται ακόμα πιο μακριά. Γιαορισμένη τιμή ταχύτητας η εστία Ε΄θα βρεθεί σε άπειρη απόσταση και η τροχιάγίνεται τμήμα ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ.

Σε περιπτωση που πρόκειται για αντικείμενο μάζας m εκτοξευόμενο οριζόντια στο πεδίο βαρύτηταςτου μάζας Μ πλανήτη Γη, σε απόσταση r από το κέντρο του πλανήτη,  η ασκούμενη δύναμη θα είναι ίση με GMm/r², οπότε η επιτάχυνση θαείναι GM/r² ,  και η προυπόθεση υ²/r > α διαμορφώνεται σε  υ²/r  >GM/r² άρα υ> (GM/r)^½ .Το αντικείμενο γίνεται δορυφορος σε ελλειπτική τροχιά μεκοντινή εστια το κέντρο του πλανήτη. Κατά την κίνησή του διατηρείται τόσο ηστροφορμή όσο και η ενέργεια. Με βάση τη διατήρηση της ενέργειας αποδεικνύεταιότι για ταχύτητα μεγαλύτερη από (2GM/r)^½η τροχιά γίνεται τμήμα ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ και το αντικείμενο δεν επιστρέφει. Ητιμή  (2GM/r)^½για το γήινο πεδίο βαρύτητας είναι περίπου 11, 2 km/s. Είναι η λεγόμενη ταχύτητα διαφυγής .

γ.Εάν η τιμή της ταχύτητας είναι τόση  ώστεη ποσότητα υ²/rνα είναι μικρότερη από την τιμή της επιτάχυνσης

η τιμή  dθ = αdt/υ θα είναι μεγαλύτερη από την  υ²dt/rυ άρα και από την υdt/r.   Αλλά το υdt/r είναι ίσο με τη γωνία dφ που διαγράφει στο ίδιο διάστημα ηεπιβατική ακτινα.  Άρα dθ > dφ. Η ταχύτητα «έστριψε»περισσότερο από την επιβατική ακτίνα και αυτό σημαίνει ότι η κεντρική δύναμηδεν είναι κάθετη στην ταχύτητα. Τα δύο διανύσματα F καιυ’  σχηματίζουν οξεία  γωνία. Η F αναλύεταισε μια συνιστώσα κάθετη στην ταχύτητα η οποία θα προκαλεί την αλλαγή στηνκατεύθυνση  της ταχύτητας και σε μιασυνιστώσα «επιταχυντική» η οποία θα επιφέρει αύξηση της ταχύτητας. Εφόσονβέβαια η ως προς Ο ροπή είναι μηδενική,  η στροφορμή του σώματος – ίση με mυd, όπου d η απόσταση το Ο από τονκοινό φορέα ορμής και  ταχύτητας –διατηρειται,  με συνέπεια η αύξηση τηςταχύτητας να συνεπάγεται μείωση της απόστασης d τουΟ από τον φορέα της ταχύτητας. Αποδεικνύεται ότι η κίνηση που θα ακολουθήσει ναείναι σε τροχιά ΕΛΛΕΙΨΗ έτσι ώστε το κέντρο Ο στο οποίο κατευθύνεται η δύναμηνα είναι η  «μακρινή εστία» 

Σε περιπτωση που πρόκειται για αντικείμενο μάζας m εκτοξευόμενο οριζόντια στο πεδίο βαρύτηταςτου μάζας Μ πλανήτη Γη, σε απόσταση r από το κέντρο του πλανήτη,  η ασκούμενη δύναμη θα είναι ίση με GMm/r², οπότε η επιτάχυνση θαείναι GM/r² ,  και η προυπόθεση υ²/r < α διαμορφώνεται σε  υ²/r  <GM/r² άρα υ< (GM/r)^½ .

Το αντικείμενο «είναι δυνατόν να γινει δορυφορος σεελλειπτική τροχιά με μακρινή εστία το κέντρο του πλανήτη.

Εάν η εκτόξευση γινει με πολύ μικρότερη ταχύτητακαι από ύψος μικρό σχετικά με την ακτινα του πλανήτη η τροχιά θασυναντήσει  την επιφάνεια του πλανήτη, τοαντικειμενο θα πέσει στο έδαφος.

Εφόσον μάλιστα το ύψος είναι πολύ μικρό σε σχέσηπάντοτε με την ακτίνα του πλανήτη, η μακρινή εστία της έλλειψης – το κέντροδηλαδή της Γης - θα μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται στο άπειρο,  η τροχιά θα μπορεί να θεωρηθεί τμήμαΠΑΡΑΒΟΛΗΣ  και το αντικείμενο θα φθάσειστο έδαφος. Σε αυτή την περίπτωση κατά την οποία το κέντρο  Ο της «κεντρικής» δύναμης θα βρίσκεται στο άπειρο πράγμα που σημαίνει ότι οιασκούμενες σε κάθε θέση δυνάμεις – καθεμια είναι το βάρος του σώματος - μπορούννα θεωρηθούν παράλληλες και ίσες μεταξύ τους και το πεδίο βαρύτητας να θεωρηθείομογενές. 

 Τέτοιου είδους τροχιά είναι και η γνωστή ΠΑΡΑΒΟΛΗτην οποίαδιαπιστώνουμε εκτοξεύοντας  οριζόντιααντικειμενα ως άνθρωποι του συγκεκριμένου πλανήτη

                               

Στις γλώσσες του Κόσμου.

Parabola   οιΑγγλοι, οι Νορβηγοί, οι Φιλιππινέζοι

οι Ιταλοί, οι  Ούγγροι, οι Κροάτες, οι Σλοβένοι, οι Τσέχοι

οι Σλοβάκοι, οιΠολωνοί,  οι Λιθουανοί, οι Λετονοί

Parábola    οιΙσπανοί, οι Πορτογάλοι      Parabolă  οι Ρουμάνοι

Parabole    οι Γάλλοι           Parabel  οιΓερμανοί

Parabelns   οι Σουηδοί          Parabοοl   οι Ολλανδοί, οι Εσθονοί

Parabol    οι Δανοί, οι Τούρκοι   Parabolë       οι Αλβανοί

Paraabeli      οι Φιλανδοί

Парабола      οι Ρώσοι, οι Σέρβοι, οι Βούλγαροι, οιΟυκρανοί

Ellipse  οι Αγγλοι, οι Γάλλοι , οι Γερμανοί, οι Δανοί,

οι Ισπανοί, οιΠορτογάλοι  οι Νορβηγοί, οι Λετονοί  

Ellipsaοι Τσέχοι, οι Πολωνοί, οι Κροάτες,οι Σλοβένοι, οι Λιθουανοί

Ellipsοι Ολλανδοί, οι Εσθονοί οιΣουηδοί   Elips  οι Τούρκοι, οι Αλβανοί

Ellisseοι Ιταλοί   Ellissιοι Μαλτέζοι

Ellipsyοι Σλοβάκοι   Elipsă  οιΡουμάνοι

Эллипс οι Ρώσοι Еліпс οι Ουκρανοί   Елипса οιΒούλγαροι Елипсу οιΣέρβοι

Ellipsi οιΦιλανδοί Elipziz  οι  Ούγγροι  Ellipsοι Ινδονήσιοι Tambilugan  οι Φιλιππινέζοι

users.sch.gr

Share